大宋之天子門生鬼谷子算的幾種解法_頁2

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在(2*a,b)和(2,a*b)至少兩組數里拿不定主意（a和

    b都是奇數，所以這兩組數一定不同）；

    b)或者m=2^n*a*b，

    如果n>1，那麼孫就會在(2^(n1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少兩組數里拿不定主意；

    如果n=1，而且a不等於b，那麼孫就會在(2*a,b)和(2b,a)至少兩組數里拿不定主

    意；

    如果n=1，而且a等於b，這意味着s=a+2*a=3a，所以s一定是3的倍數，我們只要

    討論s=27就可以了。27如果被拆成了s=9+18，那麼孫拿到的m=9*18，他就會在

    (9，18)和(27,6)至少兩組數里拿不定主意。

    （上面對51的討論就是從這最後一種情況的討論發現的，我不知道上面的論證是否

    過分煩瑣了，但是看看51這個「特例」，我懷疑嚴格的論證可能就得這麼煩）

    現在我們知道，當且僅當龐得到的和數s在

    c={11,17,23,27,29,35,37,41,47,53}

    中，他才會說出「我雖然不能確定這兩個數是什麼，但是我肯定你也不知道這兩個數

    是什麼」這句話

    孫臏可以和我們得到同樣的結論，他還比我們多知道那個m。

    4)孫的話「我現在能夠確定這兩個數字了」表明，他把m分解成素因子後，然後組合成

    關於鬼谷子的那兩個數的若干個猜想中，有且僅有一個猜想的和在c中。否則的話，他

    還是會在多個猜想之間拿不定主意。

    龐涓聽了孫的話也可以得到和我們一樣的結論，他還比我們多知道那個s。

    5)龐的話「我現在也知道這兩個數字是什麼了」表明，他把s拆成兩數和後，也得到了

    關於鬼谷子的那兩個數的若干個猜想，但是在所有這些拆法中，只有一種滿足4)里的

    條件，否則他不會知道究竟是哪種情況，使得孫臏推斷出那兩個數來。

    於是我們可以排除掉c中那些可以用兩種方法表示為s=2^n+p的s，其中n>1，p為素數。

    因為如果s=2^n1+p1=2^n2+p2，無論是(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況，孫臏都

    可以由m=2^n1*p1或m=2^n2*p2來斷定出正確的結果，因為由m得到的各種兩數組合，

    只有(2^n,p)這樣的組合，兩數和才是奇數，從而在c中，於是孫臏就可以宣佈自己知道

    了是怎麼回事，可龐涓卻還得為(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況犯愁。

    因為11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5，

    47=4+43=16+31。於是s的可能值只能在

    17294153

    中。讓我們繼續縮小這個表。

    29不可能，因為29=2+27=4+25。無論是(2,27)和(4,25)，孫臏都可以正確判斷出來：

    a)如果是(2,27)，m=2*27=2*3*3*3，那麼孫可以猜的組合是(2,27)(3,18)(6,9)，

    後面兩種對應的s為21和15，都不在c中，故不可能，於是只能是(2,27)。

    b)如果是(4,25)，m=4*25=2*2*5*5，那麼孫可以猜的組合是(2,50)(4,25)(5,20)

    (10,10)。只有(4,25)的s才在c中。

    可是龐涓卻要為孫臏的m到底是2*27還是4*25苦惱。

    41不可能，因為41=4+37=10+31。後面推理略。

    53不可能，因為53=6+47=16+37。後面推理略。

    研究一下17。這下我們得考慮所有17的兩數和拆法：

    (2,15)：那麼m=2*15=2*3*5=6*5，而6+5=11也在c中，所以一定不是這個m，否則4)

    的條件不能滿足，孫「我現在能夠確定這兩個數字了」的話說不出來。

    (3,14)：那麼m=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在c中。後面推理略。

    (4,13)：那麼m=4*13=2*2*13。那麼孫可以猜的組合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)

    的和在c中，所以這種情況孫臏可以說4)中的話。

    (5,12)：那麼m=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在c中。後面推理略。

    (6,11)：那麼m=6*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在c中。後面推理略。

    (7,10)：那麼m=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在c中。後面推理略。

    (8,9)：那麼m=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在c中。後面推理略。

    於是在s=17時，只有(4,13)這種情況，孫臏才可以猜出那兩數是什麼，既然如此，龐涓就知道這兩個數是什麼，說出「我現在也知道這兩個數字是什麼了」。聽了龐涓的話，於是我們也知道，這兩數該是(4,13)。

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